Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνουμε το βούτυρο, το γάλα, τη ζάχαρη, το μαχλέπι και τη μαστίχα. Προσοχή, δεν πρέπει το μείγμα να ξεπεράσει τους 50°C – θέλουμε να είναι χλιαρό προς ζεστό. Αποσύρουμε από τη φωτιά, αδειάζουμε σε μια φαρδιά λεκάνη ή ένα μεγάλο μπολ και ρίχνουμε τα αβγά. Ανακατεύουμε καλά. Σε ένα άλλο σκεύος διαλύουμε τη μαγιά στο χλιαρό νερό και την αδειάζουμε στο προηγούμενο μείγμα. Προσθέτουμε το αλεύρι και ζυμώνουμε πολύ καλά μέχρι να σχηματιστεί μια μαλακή και ελαστική ζύμη, που να ξεκολλάει από τα χέρια μας. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε (ίσως ευκολότερα) ζυμώνοντας στον κάδο του μίξερ, με τον γάντζο.

Δίνουμε στη ζύμη σχήμα μπάλας, τη βάζουμε σε μια καθαρή λεκάνη και χαράσσουμε στην επιφάνειά της έναν σταυρό με μυτερό μαχαίρι. Σκεπάζουμε με μια πετσέτα και την αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον για τουλάχιστον 3 ώρες, ώστε να διπλασιαστεί σε όγκο (θα το καταλάβουμε γιατί θα εξαφανιστεί σχεδόν ο σταυρός). Ξαναζυμώνουμε ελαφρώς με το χέρι, για να φύγει ο αέρας που έχει εγκλωβιστεί στη ζύμη. Χωρίζουμε το ζυμάρι στα δύο ή στα τρία. Καλύπτουμε τη λαμαρίνα του φούρνου με λαδόκολλα, τοποθετούμε πάνω το ένα κομμάτι ζύμης και πιέζουμε με την παλάμη μας να απλώσει, δίνοντάς του παράλληλα στρογγυλό σχήμα. Θέλουμε να έχει πάχος γύρω στα 4-5 εκ. Φτιάχνουμε με τον ίδιο τρόπο και τις άλλες βασιλόπιτες και στην καθεμία από αυτές τοποθετούμε από ένα φλουρί: τις ανασηκώνουμε προσεκτικά από μια τυχαία πλευρά και μπήγουμε στο κάτω μέρος τους ένα νόμισμα τυλιγμένο σε αλουμινόχαρτο. Αφήνουμε τις βασιλόπιτες σε ζεστό περιβάλλον για 1 ώρα περίπου, μέχρι να διπλασιαστούν σε όγκο.

Ανακατεύουμε το αβγό με ελάχιστο νερό και με ένα πινέλο αλείφουμε την επιφάνεια κάθε βασιλόπιτας πολύ προσεκτικά για να μην την τρυπήσουμε. Πασπαλίζουμε με το άσπρο και το μαύρο σουσάμι και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180°C, στον αέρα, για 1 ώρα περίπου, μέχρι η βασιλόπιτα να ροδίσει και να ξεκολλάει από τη λαδόκολλα. Αν δούμε ότι παίρνει χρώμα γρήγορα, μειώνουμε λίγο τη θερμοκρασία, αλλά όχι κάτω από τους 160°C.